1) Комплексные числа. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

i – корень уравнения z² = -1 т.е. i² = -1

Опр. Число вида a+bi , где a,b – действительные числа , а i² = -1 наз комплексными

a – действительная часть компл. Числа b – мнимая часть.

Обозначается: z = a+bi; a= Re z; b= Im z;

Числа a – bi наз комплексносопряженными числу a+bi

Действия с к.ч.

1) z₁ +- z₂ = x₁+y₁ i+- (x₂+y₂i) = (x₁+- x₂)(y₁+- y₂)I;

2) z₁*z₂ = (x₁+y₁i)*(x₂+ y₂i) = x₁x₂ + x₁y₂i + x₂y₁i – y₁y₂ =

= x₁x₂ –y₁y₂ +(x₁y₂ + x₂y₁)i

3) z* zштрих = (x+yi)(x-yi)= x²+y²

4) z1/z2 = z1*z2штрих / z2 * z1штрих = (x1+y1i)*(x2 – y2i) / (x²₂ +y²₂)

2) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

a+bi - алгебраическая

Пусть z= a+bi = = =

Обозначим r = cos (фи) = a/r; sin (фи) =b/r;

z= r(cos(фи)+isin(фи)) – тригонометрич форма

r – модуль комл. Числа

(фи) принадлежит [0, Пи/2] – аргумент компл. числа

3. Формула Муавра. Извлечение корня п-й степени из комплексного числа.

- ф-ла Муавра

Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.
Таким образом, равенство:

равносильно равенству rⁿ(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

rⁿ = r, ny = j + 2kp,

откуда

где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.

4) Комплексная плоскость.

Задается упорядоченой парой действительных чисел a + bi -> (a,b)

С др. Стороны упорядоченая пара мож быть изображена точкой в плоскости

т.е. между комплекными числами и точками в плоскости сущ. взаимнооднозначное

сооствтствие. Z = x + iy -> (x,y).

r = tg (фи) = x/y; sin (фи) = y/r; cos (фи) = x/r;

Геометрич смысл компл. Числа – это расстояние от точки до начала координат, в вргумент это угол который образует радиус – вектор с осью ОХ. Ось ОХ – действительная ось, ОУ – мнимая.

5 Функции комплексной переменной w=z в степени n w= e ы степени z

Задание комплексного значения ф-ии равн. Заданию 2-х действий, фещ. ф. U(x,y), V(x,y)

w (z)= U(x,y)+iV(x,y)

1.степенная функция

где n принадлежит N

2 в степени е

6 Тригометрические и геперьроические функции комплексной переменной.

Тригонометрические функции

Гиперболические функции

7 Натуральный логарифм комплексного числа.

Натуральным логарифмом комплексного числа r (cosφ + i sinφ) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм фимволом Log, можно сказать, что равенство

Log [ r (cosφ + i sinφ)] = x + yi

равносильно следующему:

ex+yi = r (cosφ + i sinφ).

Последнее равенство можно написать так:

ex(cos y + i sin y) = r (cosφ + i sinφ),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

ex = r, y = φ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, …),

т.е.x = log r и x + yi = log r + (φ + 2kπ)i

и окончательно

Log[ r (cosφ + i sinφ)] = log r + (φ + 2kπ)i ,

т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.


Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует.

8

22.Ряды Фурье

a/2+a₁+a₂Cosx+b₁Sinx+a₂Cos2x+b₂Sinx+…+a_kCoskx+b_kCoskx

a₀/2+ (1)

1 – Тригонометрический ряд

Если 1 сх. в (.) х, то он сх. Так же в (.) х не равной 2kП ; k=N.

S(x) – 2П периодическая ф-я.

S(x) = а₀/2 +

Поставим обратную задачу, пусть S(x) – Произвольная 2П период. Ф-ия. Существует ли тригонометрический ряд такой, что S(x) = а₀/2 + (2)

Предположим что ряд можно почленно интегрировать. Проинтегрируем в интервале от –П до П

=

(3)

Теперь умножим равенство (2) на Cosmx и проинтегрируем на промежутке –П до П

(4)

Аналогично можно найти:

(5)

Определение: Тригонометрический ряд 2 коэфиценты которого вычесляются по 3,4,5 называются рядом Фурье f(x).

23. Теорема Дирихле

Пусть f(x) периодическая ф-я.Ограниченная и кусочномонотонна, тогда для ф-ии f(x) существует ряд Фурье в точках непрерывности сумма ряда Фурье S(x) совпадает с f(x) а в точках разрыва сумма ряда Фурье S(x)= полусумма значений f(x) слева, а справа в этих точках, т.е

S(c) = c – точка разрыва

f(c-0)=

f(c+0)=

10)Интегрирование по частям.

Опр. Если функция F(x) имеет первообразную то ее называют интегрируемой.

Теорема: Если функция U(x)и V(x) – дифференцируемы, а функция U’(x) V(x) интегрируема, то следовательно функция U(x)V’(x) также интегрируема и имеет место формула :

11) Интегрирование простейших дробей

1)

2)

3) dx==

4)dx=

1)Если дробь не правильная то выделяется целая и дробная части. Дробная часть представляет собой правильную дробь

2)Правильную дробь раскладываем на простейшую

3)Складываем интегралы от целой части и простейших дробей

12)Интегрирование иррациональный функций

1)

Под интегральная функция рационализируется x= где S наименьшее общее кратное показателей корней ()

2)Интегрирование дифференциальных биномов

mpn- рациональные числа (дроби)

Дифференциальный бином рационализируется лишь в трех случаях с помощью подстановок

А)р – целое число x= S – знаменатель дробей m и n

Б) р- дробное целое число

В) p- дробное +p целое

16. Свойства определенных интегралов.

1) если f(x)=M-const на [a,b], то

, т.е.

Доказательство

2) f(x)= функция везде нулевая кроме 1 точки

Доказательство , c], Si=c f(Si)=A

3) Если µ(x) и f(x), µ(x)≤f(x)

Доказательство

При переходе к пределу знак неравенства сохраняется, а интегр-ые

4) Если f(x) интеграл на [a,c]

F(x) инт на [c,b]f(x)инт на [a,b]

Доказательство

- инт I на [a,c]

- инт [c,b]

– инт [a,b]

левая часть

5)

Доказательство

- A A

6)(линейность)

Если и интегр-ы на [a,b]

то

7)

Если f(x) непрерывна на [a,b]

m-наимен. знач f(x)

M-наиб. знач f(x) на [a,b], то m(b-a)≤

Доказательство

m≤f(x)≤M

По свойству 1. M(b-a)≤

f(x)≥0

8)Если f(x)- непрерывна на [a,b], то ;

Доказательство

Из непрерывности следует

m≤f(x)≤M

см. сво-во 7.

m≤

M

Из непрерывности следует что

F(

18. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

1) Формула Ньютона-Лейбница

F(x)- определена и непрерывна на [a,b]

Ф(x)-некот, первообразная на [a,b]

x-производная точка из [a,b]

F(x)=

Теорема. Если f(x) интегрируема на [a,b], то F(x) непрерывна на [a,b]

Теоремы не требует что бы f(x) была непрерывной. Она может разрываться, но не должна быть бесконечной.

Теорема Барроу

1)Если f(x) интегрируема на [a,b], и f(x) непрерывна в (.) x, то в (.)

2) в точках непреры-ти f(x) верхним пределом является перевообраз для f(x)

Док-во

Правая часть имеет предел проиозвдная .

Ф(x)-первообрз для f(x)

F(x)- первообраз

Ф(x)=F(x)+c

Ф(b)=F(b)+c

Ф(a)=F(a)+c

Ф(b)+Ф(a)=F(b)-F(a)

19. Несобственные интегралы.

F(x) определен на [a,b)

F(x) интегрируема на любом отрезке [a,b], b и неограничена в окрестности (.)b

Не интегрируема на отрезке a,b, может быть сущ-ет предел

*несобственный интеграл 2 вида(рода)

Если предел стоящий справа в рав-ве * сущ-ет, то несобственный интеграл наз. сходящимся. В противно случае несобственный интеграл наз. разсходящимся.

F(x) опред на луче [a,+)

Предположим что f(x) интегр-а на [a,b’], b’, тогда может быть сущ-ет,

**несобственный интеграл 1 рода

Если lim стоящий справа в рав-ве ** сущ-ет,то несобств. интеграл опред-й ** наз сходящимся, в противном случ, расходящийся.

Сходится если P

Расходится если P ≥0

20.Вычисление площади в полярных координатах.Вычисление Обьема тела вращения.

Площадь в полярных координатах.пусть фигура ограничена двумялучами исходящими из полиса кривой Г уравнения которой в полярной системе координат имеет вид

Разбиваем фигуру лучами

24. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

М1(х)*М2 dx + N1(x) * N2(y)dy

ФИ(X)+ТЕТРА(y)=C

25. Однородные дифференциальные уравнения I порядка.

фи(x,y) наз однородной функцией измения м, если

фи(tx,ty)=фи(x,y)

фи (x,y)=

фи(tx,tx)=

Yштрих f(x,y) назв однородными,если f(x,y) однородного ф-я нулевого измерения

Yштрих f(x,y)=

y(x) = U(x) *x

y=Ux

yштрих=Uштрих+U

U штрих Х +U=f(x,UX)

Uштрих X +U=f(1,U)

U штрих X + U =f1(u)

U штрих X=f 1 (u1)+U

U штрих Х +f1(u)-u

26. Линейное дифференциальное уравнение I порядка. Уравнение Бернулли.

F(x,y,)=0

F(x,y,z), ,, непрерывны в некоторой области w

дифференциальное уравнение

- уравнение Бернулли

27. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

– общее решение n-го порядка, содержащее ровно n произвольных постоянных

28. Теорема об определителе Вронского линейно-зависимых функций.

Теорема:

Если имеет зависимость на (a,b) и имеет производные m-го порядка, то определитель =0,

Определитель Вронского W(=

29. Необходимое и достаточное условие линейной независимости функций.

Теорема:

Для того чтобы решение дифф уравнения были именно независимыми на (а,b), необходимо и достаточно, чтобы W() при

30. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Если – функцион. реш. дифф. ур.(2), - производные постянные, то y(x)= явл. обычным решение дифф уравнения (2)

31. Понятие ряда. Действия с рядами.

Опр: Выражение U+ U+…+ U, где U-число зависящее от индекса называется числовым рядом. Члены ряда Uзадаются формулой общего числа

k=1+2+3… 1/k=1+1/2-1/3+1/4

S= U; S= U+ U; Sn= U+ U+… +Un

Sn наз. n-ой частичной суммы

Опр: Если существует предел последовательности частичных сумм , то этот предел называется Суммой ряда и в этом случае ряд называется сходящимся, в противоположном случае ряд расходится

32. Признак Даламбера.

U, U>0

lim= q, тогда если q<1 ряд сходится, если q>1 ряд расходится.

33. Радикальный признак Коши.

34. Признаки сравнения сходимости рядов.

1) Теорема 1 (первый признак сравнения)

Пусть даны 2 ряда с положительными членами

U, U>0(1)

V, V>0(2)

0< U V, тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1) или расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)

2) Теорема 2 (второй признак сходимости)

Пусть даны 2 ряда с положительными членами.

U, U>0(1)

V, V>0(2)

Пусть существует отличный от 0 предел lim=A

Ряды (1) и (2) сх. И расх. Одновременно, т.е. совпадают в сходимости

35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

1+1/2+1/3+1/4 – знакочередующийся ряд

1-1/2+1/3-1/4 – знакопеременный ряд

А- А+ А-…+ (-1) А+... где А>0 (1)

Если числа А образуют убывающую стремящуюся к 0, то ряд (1) называется рядом Лейбница

36. Степенные ряды.